Indépendance statistique et lois limites pour quelques objets arithmétiques - Aix-Marseille Université Accéder directement au contenu
Hdr Année : 2023

Indépendance statistique et lois limites pour quelques objets arithmétiques

Sary Drappeau

Résumé

Ce mémoire présente les thèmes sur lesquels ont porté mes travaux de recherche depuis mon arrivée à l'université d'Aix-Marseille en 2015. Leur problématique commune est de mettre en évidence des comportements statistiques réguliers dans des familles d'objets arithmétiques naturels~: les fonctions multiplicatives ou additives, et les valeurs centrales de certaines familles de fonctions $L$. La première partie concerne une question centrale en théorie multiplicative des nombres: celle d'estimer la corrélation des valeurs~$f(n)$ et~$g(n+1)$, où~$f$ et~$g$ sont deux fonctions multiplicatives, notamment lorsque l'une des deux fonctions est la fonction \og nombre de diviseurs\fg{}. Ce problème est naturellement lié à la répartition de certaines suites dans les progressions arithmétiques, et trouvent des applications à d'autres questions arithmétiques, par exemple les zéros de petite hauteur des fonctions~$L$ de Dirichlet. Les majorations de sommes d'exponentielles algébriques sont un outil crucial dans cette partie du mémoire. La seconde partie concerne certaines fonctions~$f:\Q\to\C$ nommées par Zagier \og formes modulaires quantiques\fg{}, caractérisées par certaines symétries analogues à celles des formes modulaires. Mes collaborations sur ce sujet ont consisté d'une part à établir ces relations de modularité quantiques dans certains cas~: celui de tordues additives de fonctions~$L$ de Dirichlet, et celui de sommes de symboles de Pochhammer; et d'autre part à les utiliser pour en déduire, par des méthodes de systèmes dynamiques, l'existence de lois limites pour les valeurs de~$f$ aux nombres rationnels ordonnés par dénominateurs croissants.
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Dates et versions

tel-04519839 , version 1 (25-03-2024)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04519839 , version 1

Citer

Sary Drappeau. Indépendance statistique et lois limites pour quelques objets arithmétiques. Théorie des nombres [math.NT]. Aix Marseille Université, 2023. ⟨tel-04519839⟩
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