Chamfer norms and medial axis in the discrete volume
Normes de chanfrein et axe médian dans le volume discret
Résumé
First, we present a class of discrete distances: the chamfer distances. We show that the properties of these functions depend on the geometry of the convex hull of the chamfer mask points used to define them. We present a method to construct regular chamfer masks which define discrete norms (verifying the homogeneity property). We obtain constraints and then optimize them, in order to find practical 3D examples of optimal chamfer norms (minimizing the error between the chamfer distance and the euclidean distance).
Then, we define the medial axis of a shape, which is the set of centres of maximal balls inside this shape. We detail its computation from the distance map of the shape, by the method of the look-up tables. We present a method to determine the values of these look-up tables for any discrete distance in both 2D and 3D. Then, we present a method to compute and validate the test neighbourhood on which depends the local computation of the medial axis. Finally, we give several examples of look-up tables and neighbourhood obtained in the case of 3D chamfer norms, and in the case of the square of the euclidean distance.
Dans un premier temps, nous présentons une classe de distances discrètes : les distances de chanfrein. Nous montrons que les propriétés de ces fonctions dépendent de la géométrie de l'enveloppe convexe des points du masque de chanfrein servant à les définir. Nous présentons une méthode permettant de construire des masques de chanfrein réguliers qui définissent des normes discrètes (vérifiant la propriété d'homogénéité). Nous effectuons, sur la base des contraintes ainsi déterminées, une optimisation afin de trouver des exemples pratiques dans les cas 3D de normes de chanfrein optimales (minimisant l'erreur par rapport à la distance euclidienne).
Dans un deuxième temps, nous définissons l'axe médian d'une forme, qui est l'ensemble des centres des boules maximales inscrites dans cette forme. Nous détaillons son calcul \`a partir de la carte de distance de la forme, par la méthode des tables de correspondance. Nous présentons une méthode de détermination des valeurs de cette table pour toute distance discrète en 2D ou 3D, puis nous présentons une méthode permettant de calculer, ainsi que de valider le voisinage de test, dont dépend le calcul local de l'axe médian. Nous donnons enfin plusieurs exemples de tables et de voisinages obtenus dans le cas des normes de chanfrein 3D, ainsi que dans celui du carré de la distance euclidienne.
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